Необходимые условия оптимальности первого и второго порядков в задаче управления дискретной системой по нетранзитивному векторному показателю качества

Рассматривается задача оптимального управления нелинейной дискретной системой с векторным показателем качества терминального типа, при этом предполагается, что отношение предпочтения, по которому сравниваются векторные оценки допустимых траекторий, является асимметричным, но может не быть, вообще говоря, транзитивным. Этой особенностью в самой формулировке задачи данная работа отличается от большинства (практически всех) других работ, в которых исследуются задачи векторной оптимизации. Вместе с тем в данном исследовании сохраняется традиционное для задач векторной оптимизации предположение о том, что отношение предпочтения согласовано с векторной структурой пространства оценок. Показывается, что при таких предположениях рассматриваемая задача оптимального управления с векторным показателем качества может быть редуцирована к задаче минимизации на множестве допустимых траекторий системы скалярного показателя качества, заданного композицией некоторой разностно сублинейной функции, которая порождается отношением предпочтения, и векторного целевого отображения исходной задачи. Анализ скалярной задачи оптимального управления, полученной в результате такой редукции, проводится в работе в предположении, что целевое отображение, сопоставляющее векторные оценки допустимым траекториям системы, является лишь дважды параболически дифференцируемым. Такое предположение относительно дифференциальных свойств целевого отображения является наиболее слабым в теории условий оптимальности второго порядка. Что касается дискретной системы управления, то относительно ее дифференциальных свойств сохраняются традиционные предположения гладкости. Это позволяет построить линейные и квадратичные приближения дискретной системы в виде уравнений в вариациях первого и второго порядков. При таких предположениях в работе получены необходимые условия оптимальности первого и второго порядков для допустимых управлений в исходной задаче оптимального управления дискретной системой с нетранзитивным векторным показателем качества, обобщающие классические условия оптимальности типа условия Эйлера и условия неотрицательности второй вариации целевого функционала на критических вариациях управления.