Профиль короны $G\wedge H$, где $G$ — граф Халина, древесной основой которого является гусеница

Пусть $G=(V,E)$ — неориентированный граф на $n$ вершинах. Линейным размещением графа $G$ называется взаимно однозначное отображение $f\colon V\to\{1,2,\dots,n\}$. В задаче о профиле графа $G$ требуется найти его профиль:
$$ p(G)=\min_f\sum_{v\in V}\max_{u\in N[v]}(f(v)-f(u)), $$
где $N[v]=\{v\}\cup\{u\in V:\{v,u\}\in E\}$ и минимум берется по всевозможным линейным размещениям графа $G$. Показано, что если $G$ — граф Халина, древесной основой которого является гусеница, то $p(G)=3(n-2)$ и профиль короны двух графов
$$ p(G\wedge H)=3(n-2)+np(H)+(3n-6)m, $$
где $n=|V(G)|$, $m=|V(H)|$.