Матричные экспоненты и нильпотентные алгебры

Показано, что произвольная дифференцируемая в нуле функция $f\colon \mathrm M_n(\mathbb C)\to\mathrm M_n(\mathbb C)$, удовлетворяющая условиям $f(X+Y)=f(X)f(Y)$ и $f(0)=I$, имеет вид $f(X)=e^{\pi(X)}$, где $\pi$ — линейное отображение, действующее из матричной алгебры $\mathrm M_n(\mathbb C)$ в коммутативную подалгебру $\mathcal A\subset\mathrm M_n(\mathbb C)$. Более того, доказано, что такая функция представима в виде
$$ f(X)=e^{\Lambda(\pi(X))}\cdot\mathcal E_\nu((I-\Lambda)\pi(X)), $$
где $\Lambda$ — мультипликативный линейный оператор, действующий из $\mathcal A$ во множество блочно-диагональных матриц; $\mathcal E_\nu$ — полином вида $\displaystyle\mathcal{E}_\nu(t)=\sum_{k=0}^{\nu-1}\frac{t^k}{k!}$; $\nu$ — наибольший из индексов нильпотентности алгебр, возникающих при разложении $\mathcal A$ на прямую сумму неприводимых коммутативных матричных алгебр.