Об асимптотической эффективности разделимых статистик в полиномиальной схеме

Пусть $\eta=(\eta_1,\dots,\eta_N)$ есть случайный вектор, имеющий полиномиальное распределение с параметрами $n$ и $p=(p_1,\dots,p_N)$, относительно которого требуется проверить гипотезу $H_0:p_j=1/N$, $j=1,\dots,N$. В качестве тестовых статистик рассматривается класс симметрических разделимых статистик (СРС) вида
$$ R_N(\eta)=\sum_{j=1}^Nf(\eta_j), $$
где $f$ – произвольная нелинейная функция. Обсуждаются вопросы сравнения асимптотической эффективности СРС при $n,N\to\infty$, $0<c_1\le\alpha=n/N\le c_2<\infty$, в различных смыслах: питменовском, бахадуровском и промежуточном; в частности, выявляется неоднозначность оценки “качества” критерия хи-квадрат; формулируются нерешенные вопросы.