О групповой алгебре группы диэдра и сложности умножения матриц второго порядка

Рассматривается линейное представление (нерегулярное) $\mathfrak D_n$ диэдральной группы порядка $2n$ с помощью $(n\times n)$-матриц с элементами из конечного поля $\mathbf{GF}_q$. Показано, что если число $n$ взаимно просто с характеристикой поля $\mathbf{GF}_q$, то групповая алгебра $A\mathfrak D_n$ является прямой суммой колец, каждое из которых изоморфно полному кольцу $(2\times2)$-матриц с элементами из поля $\mathbf{GF}_q^{n_i}$, где числа $n_i$ определяются степенями неприводимых многочленов, на которые разлагается многочлен $x^n-1$ над полем $\mathbf{GF}_q$. Этот результат, объединенный с подобным результатом, полученным авторами ранее для циклической группы, позволяет уменьшить сложность умножения в конечном поле $\mathbf{GF}_q^i$ и в кольце матриц второго порядка над полем $\mathbf{GF}_q^i$. По мнению авторов, этот результат позволит также в будущем рассмотреть так называемые двусторонние рекуррентные последовательности над кольцом матриц второго порядка.