Бент- и гипербент-функции над конечным полем

Задача приближения функций на конечном поле функциями из заданного ограниченного класса является весьма актуальной для современной криптографии. В настоящее время имеется много результатов о возможности аппроксимации булевых функций линейными и мономиальными функциями. В данной работе эти результаты обобщаются на функции $f\colon P^n\to P$ над произвольным полем $P=\mathbf F_q$, $q=2^l$. Получены ограничения на степень нелинейности бент-функции над $P$ (функции, которая одинаково плохо приближается всеми гомоморфизмами $P^n\to P$); построен класс бент-функций большой степени нелинейности; описаны закономерности распределения значений из поля $P$ в таблице истинности такой функции; найдены ограничения снизу на период последовательности значений бент-функции, упорядоченной в соответствии с последовательностью степеней примитивного элемента поля $Q=\mathbf F_{q^n}$. Построено приведенное представление функции $f$ многочленом над $Q$ и описан большой класс гипербент-функций (ГБ-функций), т.е. функций, которые одинаково плохо приближаются всеми обобщенными мономиальными функциями.