Соотношение МакВильямс для ассоциативных схем, построенных с помощью автоморфизмов конечных групп

Ассоциативные схемы являются одним из главных предметов изучения в алгебраической комбинаторике. Интерес к ним стимулируется применениями в теории кодирования и криптографии.
В работе изучаются некоммутативные ассоциативные схемы $S_H(\mathfrak S)$ (другое название – схемы отношений), которые определяются конечной группой $\mathfrak S$ и подгруппой $H$ ее группы автоморфизмов (не обязательно внутренних). Схема имеет $1+m$ классов отношений $R_j=\{(\mathfrak g,\mathfrak g')\mid\mathfrak g',\mathfrak g^{-1}\in C_j\}$, где $C_j$, $j=0,\dots,m$, – класс сопряженных элементов $\mathfrak S$ относительно подгруппы $H$.
Отношения композиционной схемы $C_H(\mathfrak S^n)$ с множеством вершин $\mathfrak S^n$ определяются с помощью схемы $S_H(\mathfrak S)$ примерно так же, как это делается в известной композиционной ассоциативной схеме Хэмминга $\mathcal H_q^n$.
Мы определяем схему отношений $C_{\widehat H}(\mathfrak A^n)$, двойственную к схеме $S_H(\mathfrak S^n)$, как схему, у которой $\mathfrak A^n$ – гомоморфный образ группы $\Psi_n$ отображений группы $\mathfrak S^n$ в группу $\mathfrak S$ и $\widehat H=\widehat H_n$ – группа автоморфизмов группы $\mathfrak A^n$, индуцированная группой $H_n$ автоморфизмов группы $\mathfrak S^n$. Схемы $C_H(\mathfrak S^n)$ и $C_{\widehat H}(\mathfrak A^n)$ являются основным предметом изучения в данной работе.
Мы изучаем групповые коды $\mathfrak K\subset\mathfrak S^n$ и двойственные к ним коды $\mathfrak K^\bot\subset\mathfrak A_n$. Одним из наших основных результатов является соотношение, которое выражает число пар векторов кода $\mathfrak K$, находящихся в одном из отношений схемы $C_H(\mathfrak S^n)$, через числа пар векторов кода $\mathfrak K^\bot$, находящихся в определенных отношениях схемы $C_{\widehat H}(\mathfrak A^n)$, и через значения некоторой функции $p(z,\mathbf c)$ (аналог соотношения МакВильямс). Если $\mathfrak A^n$ – абелева группа, то $p(z,\mathbf c)$ – ортогональный многочлен $p_{\mathbf c}(z_0,\dots,z_m)$ степени $c_j$ по каждому переменному $z_j$. Если $\mathfrak S$ – абелева группа и $m=1$, то соотношение становится известным соотношением МакВильямс для схемы Хэмминга, так что в этом случае $p_{\mathbf c}$, $\mathbf c=(n-k,k)$, – многочлен Кравчука степени $k$.
Если $\mathfrak S$ – абелева группа, то коды $\mathfrak K$ и $\mathfrak K^\bot$ являются двойственными в обычном, хорошо известном смысле. Новым в этом случае является то, что мы рассматриваем отношения композиционной схемы $C_H(\mathfrak S^nn)$, которые являются при $m>1$ более сложным объектом, чем схема Хэмминга, и сводятся к ней только при $m=1$. Следует сказать, что эти результаты существенно уточняют и обобщают результаты работы [22], относящиеся к соотношениям типа МакВильямс для абелевых схем отношений. Аппарат и методы этой прекрасной работы существенно отличаются от наших.
Подробно рассмотрено несколько “нехэмминговских” нетривиальных частных случаев схем $C_H(\mathfrak S^n)$, у которых $\mathfrak S$ – элементарная абелева группа с несколькими вариантами ее групп автоморфизмов $H$, группа вычетов по модулю $p$.