Конечные квазифробениусовы бимодули и полилинейные регистры сдвига

Изучаются способы оценки ранга (линейной сложности) полилинейной рекуррентной последовательности (ПЛРП) над конечным бимодулем путем представления ее в виде выходной последовательности полилинейного регистра сдвига (ПЛРС). Прежде всего рассматриваются полилинейные рекурренты над естественным бимодулем прямоугольных матриц с коэффициентами из коммутативного кольца. Приводятся примеры существенного изменения ранга последовательности, рассматриваемой как ЛРП над модулем и над бимодулем. Важным аспектом задачи оказывается изучение свойств конечных квазифробениусовых ($\mathrm{QF}$)-бимодулей ${}_AM_B$, поскольку теория ПЛР-последовательностей над такими бимодулями допускает наиболее глубокие обобщения теории линейных рекуррент над полями. Выясняется, что если ${}_AM_B$ – $\mathrm{QF}$-бимодуль, то любой ПЛРС над модулем ${}_AM$ эквивалентен некоторому каноническому ПЛРС, наиболее удобному с точки зрения практической реализации. Впервые дается описание канонических линейных регистров сдвига на произвольной диаграмме Ферре над конечным модулем, позволяющее перечислить их, не прибегая к полному перебору. При изучении свойств полилинейных рекуррент над бимодулем ${}_AM_B$ оказывается удобным переход к каноническому бимодулю ${}_CM_Z$, где $C=A_{\otimes_Z}B^{op}$ – тензорное произведение колец, $B^{op}$ – кольцо, антиизоморфное кольцу $B$, $Z$ – общий центр колец $A$ и $B$. Выводится критерий того, что ${}_CM_Z$ есть $\mathrm{QF}$-бимодуль при условии, что таков бимодуль ${}_AM_B$.