On the stability of a nonlinear nonautonomous scalar equation with variable delay

Задача устойчивости скалярного функционально-дифференциального уравнения имеет классический характер. Наиболее полно она изучена для уравнений линейного типа. Современные исследования по моделированию биологических, инфекционных и других процессов приводят к необходимости определения качественных свойств решений более общих уравнений. В данной работе изучается задача об устойчивости и глобальном предельном поведении решений нелинейного одномерного (скалярного) уравнения с переменным запаздыванием, с неограниченной и ограниченной правой частью. К такой задаче, в частности, сводятся исследования: об устойчивости нестационарного решения нелинейного скалярного уравнения типа Лотки-Вольтерра, о стабилизации и управлении нестационарным процессом, описываемым таким уравнением. Поставленная задача рассмотрена в зависимости от случаев: запаздывание является ограниченной дифференцируемой функцией или непрерывным и ограниченным. Исследование основано на применении метода функционалов Ляпунова-Красовского и соответствующих теорем об устойчивости неавтономных функционально-дифференциальных уравнений запаздывающего типа с конечным запаздыванием. Выведены достаточные условия равномерной асимптотической устойчивости нулевого решения, в том числе, глобальной при любых начальных непрерывных функциях. По теореме одного из соавторов об исследовании предельного поведения решений неавтономного функционально-дифференциального уравнения на основе функционала Ляпунова со знакопостоянной производной выводятся свойства притяжения решений к множеству состояний равновесия исследуемого уравнения. Приведены иллюстративные примеры.