О подобии над кольцом целых чисел некоторых нильпотентных матриц максимального ранга

Работа посвящена проблеме распознавания подобия матриц над кольцом целых чисел для некоторых семейств матриц. А именно, рассматриваются нильпотентные верхние треугольные матрицы максимального ранга, у которых только первая и вторая супердиагонали ненулевые. Получено несколько необходимых условий подобия таких матриц матрицам вида $\mathrm{superdiag}(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1})$ с одной ненулевой супердиагональю (обобщение жордановой клетки $J_n(0)=\mathrm{superdiag}(1,1,\ldots,1)$). Эти условия сформулированы в простых терминах делимости и наибольших общих делителей матричных элементов. Результат получен посредством сведения задачи распознавания подобия к задаче решения в целых числах системы линейных уравнений и применения известных необходимых условий подобия для произвольных матриц. При некоторых дополнительных условиях на элементы $a_1,a_2,\ldots,a_{n-1}$ первой супердиагонали матрицы $A$ доказано, что $A$ подобна матрице $\mathrm{superdiag}(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1})$ независимо от значений элементов второй супердиагонали. Кроме того, для рассматриваемых матриц третьего и четвёртого порядков получены легко проверяемые необходимые и достаточные условия подобия матрице вида $\mathrm{superdiag}(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1})$.