Классификация надстроек над декартовыми произведениями меняющих ориентацию диффеоморфизмов окружности

В настоящей статье вводится класс $G$ декартовых произведений грубых преобразований окружности, меняющих ориентацию, и изучается их динамика. Как известно из работы А. Г. Майера, неблуждающее множество меняющего ориентацию диффеоморфизма окружности состоит из $2q$ периодических точек, где $q$ – натуральное число. Поэтому декартово произведение двух таких диффеоморфизмов имеет $4q_1q_2$ периодических точек, где $q_1$ соответствует первому преобразованию, а $q_2$ – второму. Авторами описываются все возможные виды множества этих точек, состоящего из $2q_1q_2$ седловых точек, $q_1q_2$ стоков и $q_1q_2$ источников; при этом $4$ точки являются неподвижными, а остальные имеют период $2$. В теории гладких динамических систем весьма полезной является конструкция, позволяющая по данному диффеоморфизму $f$ многообразия построить поток на многообразии с размерностью на единицу большей; этот поток носит название надстройки над $f$. Авторами вводится понятие надстройки над диффеоморфизмами класса $G$, описываются всевозможные виды и число орбит надстройки. Кроме того, доказывается теорема о топологии многообразия, на котором задана надстройка: несущее многообразие рассматриваемых потоков гомеоморфно замкнутому $3$-многообразию $\mathbb T^2 \times [0,1]/\varphi$, где $\varphi :\mathbb T^2 \to \mathbb T^2$. Основной результат работы гласит, что для топологической эквивалентности надстроек над диффеоморфизмами класса $G$ необходима и достаточна топологическая сопряженность диффеоморфизмов, над которыми берутся надстройки. Идея доказательства заключается в том чтобы показать, что из топологической эквивалентности двух надстроек $\phi^t$ и $\phi'^t$ следует топологическая сопряженность $\phi$ и $\phi'$.