О сохранении устойчивости равновесия нелинейных осцилляторов при консервативных возмущениях

Рассматривается задача Ю. Н. Бибикова о сохранении устойчивости положения равновесия двух взаимосвязанных нелинейных осцилляторов при действии малых в определенном смысле консервативных возмущающих сил. При разных способах сведения системы к гамильтоновой форме выявлены некоторые особенности для случая, когда возмущающие силы взаимодействия двух осцилляторов являются потенциальными. Получены условия сохранения устойчивости и неустойчивости равновесия двух осцилляторов для случая достаточно малых возмущающих сил. Задача о сохранении устойчивости равновесия при консервативных возмущениях рассмотрена также в более общей ситуации произвольного числа осцилляторов со степенными потенциалами с рациональными показателями степени, что приводит к случаю обобщенно однородного потенциала невозмущенной системы. На примере показана применимость предложенного подхода и в случае, когда порядок малости возмущающих сил совпадает с порядком малости невозмущенного гамильтониана.