Применение непрерывного метода решения нелинейных операторных уравнений к прямым и обратным задачам рассеяния

Дано обобщение непрерывного метода решения нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах и описано его применение для исследования прямых и обратных задач теории рассеяния. Непрерывный метод решения нелинейных операторных уравнений основан на Ляпуновской теории устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Он применим к операторным уравнениям в банаховых пространствах, в том числе, и в случаях, когда производная Фреше (Гато) нелинейного оператора необратима в окрестности начального значения. В работе он применяется к решению задач Дирихле и Нейманна для уравнения Гельмгольца и для определения волнового числа в обратной задаче. Рассмотрены внутренние и внешние задачи Дирихле и Нейманна для уравнения Гельмгольца, определенного в областях с гладкими и кусочно- гладкими границами. В случае, когда уравнение Гельмгольца рассматривается в области с гладкой границей, существование и единственность решения следует из классической теории потенциала. При решении уравнения Гельмгольца в областях с кусочно гладкими границами проводится винеровская регуляризация. Задачи Дирихле и Нейманна для уравнения Гельмгольца методами теории потенциала трансформируются в сингулярные интегральные уравнения второго рода и в гиперсингулярные интегральные уравнения первого рода. Для приближенного решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнения построены и обоснованы вычислительные схемы методов коллокации и механических квадратур. Особенности непрерывного метода иллюстрируются решением краевых задач для уравнения Гельмгольца. Рассмотрены приближенные методы восстановления волнового числа в уравнении Гельмгольца.