К частичной устойчивости линейных систем относительно заданной компоненты фазового вектора

Предлагается новый геометрический подход к исследованию частичной устойчивости линейных систем, основанный на применении геометрической теории линейных операторов. Привлекая теорию сопряженных пространств и сопряженных линейных операторов, строятся базисы, в которых исследуемая система принимает канонический вид. Рассматривается циклическое подпространство относительно сопряженного линейного оператора. Строится базис сопряженного пространства линейного оператора, в котором его матрица принимает канонический вид. Этому базису соответствует двойственный базис исходного линейного пространства. Тогда в паре базисов дуальных пространств, исследуемая система принимает наиболее простой вид. Реализация геометрических свойств системы осуществляется с помощью неособого линейного преобразования в пространстве части компонент фазового вектора системы. Это позволяет произвести декомпозицию исследуемой системы с целью получения необходимых и достаточных условий частичной устойчивости линейной системы. В эквивалентной системе выделяется независимая подсистема, характер устойчивости которой определяет поведение исследуемой компоненты фазового вектора исходной системы. Устанавливается взаимосвязь частичной устойчивости системы с существованием инвариантного подпространства линейного оператора, характеризующего динамику системы. Канонический вид полученной подсистемы позволяет легко исключить вспомогательные переменные и записать эквивалентное этой системе уравнение. Показано применение полученных результатов к решению задачи частичной устойчивости для линейных систем с постоянными коэффициентами из классов обыкновенных дифференциальных уравнений, дискретных и систем с отклоняющимся аргументом. Приведен пример линейной системы дифференциальных уравнений, иллюстрирующий полученный результат.