Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений на числовой оси

В работе исследованы приближенные методы решения линейных и нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений, определенных на числовой оси. Рассматриваются уравнения, имеющие особенности второго порядка, т. к. уравнения с такими сингулярностями находят широкое применение при моделировании проблем в естествознании и технологиях. Для решения линейных гиперсингулярных интегральных уравнений предложены три вычислительные схемы. Первая основана на технологии метода механических квадратур. В качестве базисных выбираются рациональные функции. Вторая вычислительная схема основана на сплайн-коллокационном методе со сплайнами первого порядка. В третьей вычислительной схеме используются сплайны нулевого порядка. При обосновании и реализации вычислительных схем используется непрерывный метод решения операторных уравнений. Его применение позволяет ослабить требования, налагаемые на исходное уравнение: достаточно потребовать его разрешимости при данной правой части. Непрерывный операторный метод основан на Ляпуновской теории устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений и это обуславливает его устойчивость к возмущениям коэффициентов и правых частей. Приближенные методы решения нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений изложены на примере уравнения Пейерлса-Наборро, моделирующего ряд задач теории дислокаций. Для решения этого уравнения построены, по аналогии с линейными гиперсингулярными интегральными уравнениями, три вычислительные схемы. Их обоснование и реализация основаны на непрерывном методе решения операторных уравнений. На примере решения уравнения Пейерлса-Наборро продемонстрирована эффективность предложенных численных методов.