О классе топологической сопряженности с гомотетией

В работе рассматривается класс $H(\mathbb{R}^n)$ сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов евклидова пространства $\mathbb{R}^n$ таких, что для любого гомеоморфизма $h\in H(\mathbb{R}^n)$ и для любой точки $x\in \mathbb{R}^n$ выполняются условия $\lim \limits_{n\to +\infty}h^n(x)\to O$, $\lim \limits_{n\to -\infty}h^n(x)\to \infty$, где $O$ — начало координат. Доказывается, что для любого $n\geq 1$ произвольный гомеоморфизм $h\in H(\mathbb{R}^n)$ топологически сопряжен с гомотетией $a_n: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$, определяемой формулой $a_n(x_1,\dots,a_n)=(\dfrac12 x_1,\dots,\dfrac12 x_n)$. Для гладкого случая при условии, что все собственные числа линейной части рассматриваемого отображения лежат внутри единичной окружности, данный факт следует из классической теории динамических систем. В негладком случае при $n\notin \{4,5\}$ этот факт доказан в ряде работ конца XX века, но работы, где доказательство было бы изложено для случая $n\in \{4,5\}$, авторам неизвестны. Настоящая работа заполняет этот пробел.