О глобальной динамике в уравнении Дуффинга при квазипериодическом возмущении

Рассмотрено уравнение Дуффинга с малым возмущением, содержащим автономную неконсервативную часть, аналогичную уравнению Ван дер Поля, и двухчастотную квазипериодическую составляющую с иррациональным соотношением частот. Применены методы анализа резонансных зон с помощью процедуры усреднения и анализа поведения решений в области сепаратрисы невозмущенной системы с помощью аналога формулы Мельникова. Установлено, что число «частично проходимых» резонансных уровней конечно, а качественное поведение решений системы в окрестности остальных резонансных уровней определяется автономной частью возмущения. Проанализировано поведение решений, соответствующих предельному циклу в автономной системе. Приведены иллюстрации качественного поведения решений усредненной системы при прохождении предельного цикла, отвечающего трехмерному тору исходной системы, через окрестности резонансных уровней. В случае невозмущенной системы с петлей сепаратрисы с помощью метода Мельникова установлено условие пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий седлового решения, приводящего к существованию двоякоасимптотических решений и нерегулярной динамике в окрестности невозмущенной сепаратрисы. Проведенное исследование позволяет сделать выводы о глобальном поведении решений.