Задача Дирихле для прямоугольника и новые тождества для эллиптических интегралов и функций

В статье представлены итоги сравнения двух методов точного решения задачи Дирихле для прямоугольника: метода конформного отображения прямоугольника на верхнюю полуплоскость и метода разделения переменных. Данная процедура позволяет выразить нормальную производную функции Грина прямоугольной области через эллиптические функции Якоби. При приближении к границам прямоугольника эти формулы дают новые представления дельта-функции Дирака. Кроме того, в рамках предложенной идеологии получена серия новых соотношений для полного эллиптического интеграла первого рода. Данные соотношения могут быть применены к суммированию числовых и функциональных рядов, а также могут быть полезны в аналитической теории чисел. Число этих тождеств определяется числом известных значений эллиптических функций Якоби в их параллелограммах периодов.