О гладкости решения одной нелокальной краевой задачи для многомерного уравнения смешанного типа второго рода второго порядка в пространстве Соболева

В статье доказана однозначная разрешимость и гладкость решения одной нелокальной краевой задачи для многомерного уравнения смешанного типа второго рода второго порядка в пространстве Соболева $W\,_{2}^{\ell }(Q)$, ($2\le \ell $ – целое число). Изучена однозначная разрешимость задач в пространстве $W_{2}^{2}(Q).$ Единственность решения нелокальной краевой задачи для уравнения смешанного типа второго рода доказана методом априорных оценок. Далее для доказательства существования решения рассматриваемых задач в пространстве $W_{2}^{2}(Q)$ использован метод Фурье. Другими словами рассматриваемая задача сводится к изучению однозначной разрешимости решения нелокальной краевой задачи для бесконечного числа систем уравнений смешанного типа второго рода второго порядка. Для однозначной разрешимости полученных задач был использован метод «$\varepsilon$-регуляризации»$,$ т. е. сначала изучена методами функционального анализа однозначная разрешимость решения нелокальной краевой задачи для бесконечного числа систем уравнений составного типа с малым параметром, затем получены необходимые априорные оценки для рассматриваемых задач. Используя полученные оценки для бесконечного числа систем уравнений составного типа с малым параметром, с помощью теоремы о слабой компактности предельным переходом получено решение для бесконечного числа систем уравнений смешанного типа второго рода второго порядка. Далее с помощью равенства Стеклова-Парсеваля для решения бесконечного числа систем уравнений смешанного типа второго рода второго порядка была получена однозначная разрешимость первоначальной задачи. В конце статьи изучен вопрос гладкости решения поставленной задачи.