Класс управляемых систем дифференциальных уравнений за бесконечное время

В статье получены необходимые условия управляемости систем нелинейных дифференциальных уравнений за бесконечное время без предположения существования асимптотического равновесия у системы линейного приближения. Это позволяет определить новый класс управляемых систем дифференциальных уравнений. Решение задачи об управляемости за бесконечное время сводится к построению оператора, зависящего от выбранного управления, которое, в свою очередь, зависит от переводимой точки, и доказательству существования его неподвижной точки. Показано, что условие существования асимптотического равновесия не является в общем случае необходимым для управляемости систем за бесконечное время. Приведен пример, иллюстрирующий применение теоремы об управляемости за бесконечное время. Далее в статье приведена теорема, обобщающая неравенство Важевского. Доказательство теоремы основано на неравенстве Коши-Буняковского. Сделано замечание о верности теоремы для случая, если матрица и вектор-функции, стоящие в правой части нелинейного дифференциального уравнения, являются комплексными, а $x$ – вектор с комплексными компонентами. На основании левой части неравенства из теоремы об обобщении неравенства Важевского получены необходимые условия управляемости за бесконечное время. Эти условия проверены на том же примере скалярного уравнения.