Об одной априорной оценке для эллиптического оператора второго порядка, вырождающегося вдоль оси координат, перпендикулярной к границе полуплоскости

Вопросы разрешимости, свойств решений дифференциальных уравнений с частными производными и соответствующих краевых задач часто сводятся к априорным оценкам в пространствах С.Л. Соболева и их обобщений, исследованиям которых посвящены многочисленные работы ряда авторов. К ним относится и данная работа. В ней дается метод сведения оценок Соболевских норм, определенных в евклидовом полупространстве, к оценкам норм, определенных на всем евклидовом пространстве. В работе получено неравенство, левая часть которого является нормой производной второго порядка функции по нормали к границе полуплоскости, а правая – линейной комбинацией норм образа, порождаемого действующим на эту функцию вырождающимся эллиптическим оператором, и следа функции на границе полуплоскости. В доказательстве неравенства использованы два продолжения функции из полуплоскости на всю плоскость. С помощью первого продолжения, подробно изученного Л.Н. Слободецким, имеющего производные до третьего порядка включительно, неравенство сводится к оценкам смешанных производных и производной четвертого порядка по касательному направлению к границе полуплоскости, которые получаются на основе второго продолжения – дважды дифференцируемой функции. Полученные результаты можно распространить на более широкий класс операторов, они могут быть применены при изучении краевых задач для вырождающихся эллиптических и квазиэллиптических операторов.