Собственные моды колебаний в ограниченном бассейне переменной глубины

Обсуждается математическая задача нахождения собственных мод для волнового уравнения с переменными коэффициентами, описывающего малые колебания несжимаемой идеальной однослойной или двухслойной жидкости в замкнутом бассейне с неровным дном. Найдены собственные моды колебаний при определенной функциональной зависимости ширины и глубины бассейна. Показано, что такие собственные моды выражаются через многочлены Чебышева второго рода. Приведены некоторые свойства собственных мод. В частности, исследованы собственные моды для бассейнов следующих конфигураций: 1) постоянной ширины, 2) постоянной глубины, 3) «согласованного» канала переменных ширины и глубины. В первом случае найден их параметрический вид, а в двух других случаях явный вид. В заключении обсуждается физическая интерпретация и обоснование реализуемости полученных решений.