Локальные гомеоморфизмы стоуновского компакта и локальная обратимость измеримых отображений

Доказано утверждение о том, что открытое непрерывное отображение экстремально несвязного хаусдорфового компакта счетного типа в топологическое пространство, компоненты связности которого не являются множествами первой категории по Бэру, является локальным гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда это отображение переводит все множества первой категории за исключением, быть может, подмножеств одного замкнутого нигде не плотного множества, в множества первой категории. Полученный результат используется для характеризации локальной обратимости измеримых отображений стандартных пространств с мерами. В частности, выясняется, что известное $N$-условие Лузина не только гарантирует измеримость образа при измеримом отображении, но и фактически является критерием локальной обратимости.