К проективно-дифференциальной геометрии комплексов $m$ -мерных плоскостей проективного пространства $P^n$, содержащих конечное число торсов

Предметом исследования настоящей статьи является дифференциальная геометрия $p$ -мерных комплексов $С^p$ $m$ -мерных плоскостей в проективном пространстве $Р^n$, содержащих конечное число торсов. Настоящая работа относится к исследованиям в области проективной дифференциальной геометрии на основе метода подвижного репера Э. Картана и метода внешних дифференциальных форм. Эти методы позволяют с единой точки зрения изучать дифференциальную геометрию подмногообразий различных размерностей грассманова многообразия,а также обобщить полученные результаты на более широкие классы многообразий многомерных плоскостей. Для изучения таких подмногообразий применяется грассманово отображение многообразия $G(m, n)$ на $(m+ 1)(n-m)$ -мерное алгебраическое многообразие $\Omega (m, n)$ пространства $Р^N$, где $N=\frac{n+1}{m+1}-1$. Основная задача дифференциальной геометрии подмногообразий грассмановых многообразий заключается в проведении единой классификации различных классов таких подмногообразий, выяснения их строения и связанная с этим задача определения произвола их существования, а также изучение свойств подмногообразий различных классов. Пересечение алгебраического многообразия $\Omega (m, n)$ с его касательным пространством $T_l \Omega (m, n)$ представляет собой конус Сегре $C_l (m+1, n-m)$. Этот конус имеет размерность $n$ и несет плоские образующие размерностей $m+1$ и $n-m$, пересекающиеся по прямым. Проективизация $PB_l$(2) этого конуса есть многообразие Сегре $S_l (m, n -m-1)$. Многообразие Сегре $S_l (m, n-m-1)$ инвариантно при проективных преобразованиях пространства $P^{(m+1)(n-m)-1}=PT_l \Omega (m, n)$, являющегося проективизацией с центром в точке $l$ касательного пространства $T_l \Omega (m, n)$ к алгебраическому многообразию $\Omega (m, n)$. Многообразие Сегре $S_l(m, n-m-1)$ используется для классификации рассматриваемых подмногообразий грассманова многообразия $G(m, n)$, а также для интерпретации их свойств в терминах проективных алгебраических многообразий. Классификация подмногообразий грассманова многообразия $G(m, n)$ основана на различных конфигурациях плоскости $PT_l \Omega (m, n)$ и многообразия Сегре $S_l(m, n-m-1)$. Целью настоящей статьи является геометрическое доказательство теоремы об определении порядка многообразия Сегре $S_l(m, n-m-1)$.