|
Математика
О смешанной задаче $E$ для вырождающихся на границе области параболических уравнений 2-го порядка
И. М. Петрушко Московский энергетический институт (технический университет), ул. Красноказарменная, 14, Москва 111250
Аннотация:
Исследуется вопрос об однозначной разрешимости первой смешанной задачи для вырождающегося параболического уравнения 2-го порядка в случае, когда граничная и начальная функции принадлежат пространствам типа $L_2$. Данная тематика берет начало с классических работ Ф. Рисса [1] и Литтлвуда и Пэли [2], посвященных граничным значениям аналитических функций. Дальнейшее развитие этой тематики для равномерно эллиптических уравнений получило в работах В. П. Михайлова, А. К. Гущина [3-9]. Условие гладкости границы ($\partial Q\in C^2$) можно ослабить (см. [7]). При наиболее слабых ограничениях на гладкость границы (и на коэффициенты уравнения) критерий существования граничного значения установлен в [7–9]. При этом, как показано в работе [9], все направления принятия граничных значений для равномерно эллиптических уравнений оказываются равноправными, решение обладает свойством, аналогичным свойству непрерывности по совокупности переменных. В случае вырождения уравнения на границе области, когда направления не являются равноправными, ситуация более сложная. При этом постановка первой краевой задачи определяется типом вырождения. В случае, когда значения соответствующей квадратичной формы вырождающегося эллиптического уравнения на векторе нормали отличны от нуля (вырождение типа Трикоми), корректна задача Дирихле, и свойства такого вырождающегося уравнения весьма близки к свойствам равномерно эллиптического уравнения. В частности, в этой ситуации справедливы аналоги теорем Рисса [1] и Литтлвуда–Пэли [2, 3]. В случае вырождения типа Келдыша ситуация более сложная. Постановка первой краевой задачи и поведение решения вблизи границы определяются порядком вырождения уравнения, а в случае “сильного” вырождения – коэффициентами при младших членах. Вопросам разрешимости первой краевой задачи для вырождающихся эллиптических и параболических уравнений посвящено большое число работ. Достаточно отметить работы Ф. Трикоми [10], М. В. Келдыша[11], А. В. Бицадзе [12], С. А. Терсенова [13], И. М. Петрушко [14, 15], О. А. Олейник, Е. В. Радкевича [16], Г. Фикеры [17] и др. Из недавних работ можно отметить [18]. В настоящей работе рассматривается случай сильного вырождения параболического уравнения 2-го порядка, когда соответствующая квадратичная форма убывает как $r(x)$ и постановка первой смешанной задачи определяется коэффициентом при первой производной по нормали.
Ключевые слова:
вырождающиеся параболические уравнения, сильное вырождение, функциональные пространства, первая смешанная задача, разрешимость, граничные и начальные значения решений, априорные оценки.
Поступила в редакцию: 11.08.2019 Исправленный вариант: 02.09.2019 Принята в печать: 03.09.2019
Образец цитирования:
И. М. Петрушко, “О смешанной задаче $E$ для вырождающихся на границе области параболических уравнений 2-го порядка”, Математические заметки СВФУ, 26:3 (2019), 57–70
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/svfu261 https://www.mathnet.ru/rus/svfu/v26/i3/p57
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 46 | PDF полного текста: | 24 |
|