О существовании граничных и начальных значений для вырождающихся параболических уравнений в звездных областях

Устанавливаются необходимые и достаточные условия того, чтобы решение параболического уравнения 2-го порядка в звездной области с боковой границей, принадлежащей классу $C^{1+\lambda}$, $\lambda>0$, вырождающегося на границе области, имело предел в среднем на боковой поверхности цилиндрической области и предел в среднем на ее нижнем основании, и исследуется вопрос об однозначной разрешимости первой смешанной задачи для такого уравнения в случае, когда граничная и начальная функции принадлежат пространствам типа $L_2$.
Наиболее близкими к рассматриваемому кругу вопросов являются теоремы Рисса и Литтлвуда и Пэли, в которых даются критерии предельных значений в $L_p$, $p>1$, аналитических в единичном круге функций. Эта тематика для равномерно эллиптических уравнений развивалась в работах В. П. Михайлова и А. К. Гущина. Как было показано И. М. Петрушко, условие гладкости границы ($\partial Q\in C^2$) можно ослабить. При наиболее слабых ограничениях на гладкость границы (и на коэффициенты уравнения) критерии существования граничного значения установлены в работах А. К. Гущина. При этом все направления принятия граничных значений для равномерно эллиптических уравнений оказываются равноправными, решение обладает свойством, аналогичным свойству непрерывности по совокупности переменных. В случае вырождения уравнения на границе области, когда направления не являются равноправными, ситуация более сложная. При этом постановка первой краевой задачи определяется типом вырождения. В случае, когда значения соответствующей квадратичной формы вырождающегося эллиптического уравнения на векторе нормали отличны от нуля (вырождение типа Трикоми), корректна задача Дирихле, и свойства такого вырождающегося уравнения весьма близки к свойствам равномерно эллиптического уравнения. В частности, в этой ситуации справедливы аналоги теорем Рисса и Литтлвуда–Пэли.