Абсолютные $\sigma$-ретракты и теорема Лузина

Устанавливаются некоторые свойства абсолютных $\sigma$-ретрактов. Приводится обобщение классической теоремы Лузина об аппроксимации измеримых отображений непрерывными отображениями, а именно установлено следующее утверждение.
Теорема 3. Пусть $Y$ – полное сепарабельное метрическое пространство и $Y$ является абсолютным $\sigma$-ретрактом, $X$ – нормальное пространство, $A$ – замкнутое подмножество $X$, $\mu\ge0$ – мера Радона на $A$, $f\colon A\to Y$ – $\mu$-измеримое отображение. Тогда для всякого $\varepsilon>0$ существуют такое замкнутое подмножество $A_\varepsilon$ множества $A$, что $\mu(A\setminus A_\varepsilon)\le\varepsilon$, и такое непрерывное отображение $f_\varepsilon\colon X\to Y,$ что $f_\varepsilon(x)=f(x)$ для всех $x\in A_\varepsilon$.
Отметим, что связное сепарабельное $ANR(\mathfrak{M})$-пространство принадлежит $AR_\sigma(\mathfrak{M})$.