Об относительной ограниченности одного класса вырождающихся дифференциальных операторов в лебеговом пространстве

В пространстве $L_p(\Omega)$, где $1<p<+\infty$ и $\Omega$ - произвольная (ограниченная или неограниченная) область $n$-мерного евклидова пространства $R^n$, исследуется относительная ограниченность одного класса дифференциальных операторов с частными производными недивергентного вида высшего порядка. Исследуемые операторы имеют нестепенное вырождение вдоль всей границы области $\Omega$, и вырождение по каждой независимой переменной характеризуется с помощью разных функций. В работах, опубликованных ранее по этому направлению, обычно сначала задавался исследуемый оператор в области $\Omega$ и затем в этой области определялись функции, с помощью которых характеризуются вырождения коэффициентов исследуемого оператора. Эти функции имели одинаковое поведение вблизи границы по разным независимым переменным. В отличие от этого, в настоящей работе область $\Omega$ и функции, которые характеризуют вырождения коэффициентов дифференциального оператора, задаются в паре друг с другом и предполагается выполнение «условия погружения», введенного ранее П. И. Лизоркиным. При этом дифференцируемость функций, с помощью которых определяется вырождение исследуемого оператора, не требуется. Исследование относительной ограниченности дифференциальных операторов является одним из основных направлений теории таких операторов, и результаты, полученные в этом направлении, имеют широкое применение в теории вложения нормированных пространств дифференцируемых функций многих переменных, теории разделимости дифференциальных операторов, спектральной теории дифференциальных операторов и т.д.