О дробных долях натуральных степеней фиксированного числа

Пусть $\xi\ne0$ и $\alpha>1$ – вещественные числа. Доказано, что дробные доли $\{\xi\alpha^n\}$, $n=12,3,\dots$, принимают любое значение лишь конечное число раз, за исключением случая, когда $\alpha$ является корнем из целого числа: $\alpha=q^{1/d}$, где $q\geqslant2$, $d\geqslant1$ – целые числа, а $\xi$ – рациональным множителем целой неотрицательной степени $\alpha$.