$n$-Лиево свойство якобиана как условие вполне интегрируемости

Доказано, что ассоциативная коммутативная алгебра $U$ с дифференцированиями $D_1,\dots,D_n\in\operatorname{Der}U$ относительно $n$-умножения $D_1\wedge\dots\wedge D_n$ превращается в $n$-лиеву алгебру, если система $\{D_1,\dots,D_n\}$ находится в инволюции. В случае, когда дифференцирования попарно коммутируют, этот факт установлен В. Т. Филипповым. Получена еще одна формулировка условия Фробениуса о вполне интегрируемости в терминах $n$-лиевых умножений. Дифференциальная система $\{D_1,\dots,D_n\}$ ранга $n$ на многообразии $M^m$ находится в инволюции тогда и только тогда, когда пространство гладких функции на $M$ относительно якобиана $\operatorname{Det}(D_iu_j)$ превращается в $n$-лиеву алгебру.