О $\Sigma$-подмножествах натуральных чисел над абелевыми группами

Получены условия $\Sigma$-определимости подмножества натуральных чисел в наследственно конечном допустимом множестве над моделью. Приведены условия вычислимости семейства подмножеств натуральных чисел в наследственно конечном допустимом множестве. Доказаны утверждения: для любого $e$-идеала $I$ существует абелева группа без кручения $A$ такая, что семейство $e$-степеней $\Sigma$-подмножеств $\omega$ в $\mathbb{HF}(A)$ совпадает c $I$ существует вполне разложимая абелева группа без кручения, в наследственно конечном допустимом множестве над которой не существует универсальной $\Sigma$-функции; для любого главного $e$-идеала $I$ существует периодическая абелева группа $A$ такая, что семейство $e$-степеней $\Sigma$-подмножеств $\omega$ в $\mathbb{HF}(A)$ совпадает c $I$.