Пространство параллельных погружений сфер

Пусть $f\colon M^m\to\mathbb R^{m+1}$ – погружение $m$-мерного связного ориентируемого гладкого многообразия $M$ без края и $\xi$ – поле единичных нормалей вдоль $f$. Для вещественного $t$ определим отображение $f_{t\xi}\colon M^m\to\mathbb R^{m+1}$, полагая $f_{t\xi}(p)=f(p)+t\xi(p)$. Известно, что, когда $f_{t\xi}$ – погружение, для любого $p\in M$ число фокальных точек на промежутке, соединяющем $f(p)$ и $f_{t\xi}(p)$, целое. Это число, называемое индексом параллельного погружения $f_{t\xi}$, лежит в промежутке между $0$ и $m$. Если $f\colon\mathbb S^m\to\mathbb R^{m+1}$ – вложение, то изучается наличие компоненты индекса $\mu$ в пространстве погружений $\Omega(f)$. Известно, что если существует компонента с индексом $\mu=m$ в $\Omega(f)$, то $f$ – строго выпуклое вложение в $\mathbb S^m$. Описана структура $\Omega(f)$, когда $f(\mathbb{S}^m)$ выпукло и невыпукло. Показано также, что наличие компоненты индекса $\mu$ в $\Omega(f)$ позволяет строить непрерывное поле касательных плоскостей размерности $\mu$ на $\mathbb S^m$, откуда выводится, что для некоторых значений $\mu$ не существует компоненты индекса $\mu$ на $\Omega(f)$.