Карлемановские оценки для гиперболического уравнения второго порядка

В пространстве переменных $(x,t)\in\mathbb{R}^{n+1}$ рассматривается линейное гиперболическое уравнение второго порядка с коэффициентами, зависящими лишь от $x$. Для области $D\subset\mathbb{R}^{n+1}$, проекция которой на пространство переменной $x$ является компактной областью $\Omega$, рассматривается вопрос о построении оценки устойчивости решения задачи Коши с данными на боковой границе $S$ области $D$. Известный метод получения такой оценки основан на карлемановских оценках с весовой функцией экспоненциального типа $\exp(2\tau\varphi(x,t))$, построение которой для гиперболических уравнений с переменными коэффициентами встречает определенные трудности. Показано, что для области $D$, симметричной относительно плоскости $t=0$, в качестве функции $\varphi(x,t)$ может быть взята $\varphi(x,t)=s^2(x,x^0)-pt^2$, в которой $s(x,x^0)$ – расстояние между точками $x$ и $x^0$ в римановой метрике, индуцированной дифференциальным уравнением, $p$ – некоторое положительное число, меньшее единицы, а фиксированная точка $x^0$ может либо принадлежать области $\Omega$, либо быть вне ее. Относительно метрики предполагается, что секционные кривизны соответствующего риманова пространства ограничены сверху некоторым числом $k_0\geqslant0$. Для случая пространства неположительной кривизны параметр $p$ может быть взят сколь угодно близким к 1, в этом случае оценки устойчивости приводят в предельном случае $p\to1$ к теореме единственности, точно описывающей область продолжения решения через поверхность $S$. Для пространства ограниченной положительной кривизны построение карлемановской оценки оказывается возможным лишь при выполнении некоторого условия малости произведения $k_0$ и $\sup\limits_{x\in\Omega}\,s^2(x,x^0)$.