Интерполяция функций с нулевыми шаровыми средними с ограничением роста

Пусть $V_r({\Bbb R}^n)$ ($n\geq 2$, $r>0$) — множество локально суммируемых функций $f: {\Bbb R}^n\to {\Bbb C}$, имеющих нулевые интегралы по всем шарам радиуса $r$ в ${\Bbb R}^n$. В работе изучается интерполяционная задача $f(a_k)=b_k$, $k=1,2,\ldots$, для функций класса $(V_r\cap C^{\infty})({\Bbb R}^n)$ с ограничениями роста на бесконечности. Рассматривается случай, когда $\{a_k\}_{k=1}^{\infty}$ — множество точек, лежащих на некоторой прямой $l$ в ${\Bbb R}^n$, в некотором смысле близкое к конечному объединению арифметических прогрессий, а $\{b_k\}_{k=1}^{\infty}$ — последовательность комплексных чисел, удовлетворяющая условию
$$ \sum_{k=1}^{\infty}|b_k|^2<+\infty. $$
Показано, что указанная интерполяционная задача разрешима в классе функций, принадлежащих $(V_r\cap C^{\infty})({\Bbb R}^n)$, которые вместе со всеми своими производными удовлетворяют специальному условию убывания на бесконечности. Это условие представляет собой верхнюю оценку, которая влечет степенное убывание в направлениях, ортогональных к $l$, а также не может быть существенно улучшена вдоль прямой $l$.