След и интегрируемые коммутаторы измеримых операторов, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана

Пусть $\tau$ — точный нормальный полуконечный след на алгебре фон Неймана ${\mathcal{M}}$, $I$ — единица ${\mathcal{M}}$, $S({\mathcal{M}}, \tau )$ — ${}^*$-алгебра $\tau$-измеримых операторов, $ L_1({\mathcal{M}},\tau)$ — банахово пространство $\tau$-интегрируемых операторов. Получено новое доказательство следующего обобщения теоремы Путнама (1951): положительный самокоммутатор $[A^*, A]$ $(A\in S({\mathcal{M}}, \tau ))$ не может иметь обратного в ${\mathcal{M}}$. Если след $\tau$ бесконечен, то положительный самокоммутатор $[A^*, A]$ $(A\in S({\mathcal{M}}, \tau ))$ не может иметь вид $\lambda I +K$, где $\lambda$ — ненулевое комплексное число и оператор $K$ $\tau$-компактен. Пусть $A, B \in S({\mathcal{M}}, \tau )$ и $[A, B]\in L_1({\mathcal{M}},\tau)$. Вопрос: при каких условиях $\tau ([A, B])=0$? Если $X\in S({\mathcal{M}}, \tau )$, $Y=Y^3 \in {\mathcal{M}}$ и $[X, Y]\in L_1({\mathcal{M}},\tau)$, то $\tau ([X, Y])=0$. Если $A^2=A\in S({\mathcal{M}},\tau)$ и $[A^*, A]\in L_1({\mathcal{M}},\tau)$, то $\tau ([A^*, A])=0$. Если частичная изометрия $U$ принадлежит ${\mathcal{M}}$ и $U^n=0$ для некоторого целого $n\geq 2$, то оператор $U^{n-1}$ является коммутатором, и если $ U^{n-1}\in L_1({\mathcal{M}},\tau)$, то $\tau (U^{n-1})=0$.