Топологии локальной сходимости по мере в алгебрах измеримых операторов

Пусть алгебра фон Неймана ${\mathcal M}$ операторов действует в гильбертовом пространстве ${\mathcal H}$, $\tau$ — точный нормальный полуконечный след на ${\mathcal M}$, $S({\mathcal M}, \tau )$ — *-алгебра $\tau$-измеримых операторов. Получено достаточное условие положительности эрмитова оператора из $S({\mathcal M}, \tau )$ в терминах топологии $t_{\tau l}$ $\tau$-локальной сходимости по мере. Доказано, что *-идеал ${\mathcal F}({\mathcal M}, \tau )$ элементарных операторов $t_{ \tau l}$-плотен в $S({\mathcal M}, \tau )$. Если топология $t_{ \tau}$ локально выпукла, то $t_{ \tau l}$ локально выпукла; если топология $t_{ \tau l}$ локально выпукла, то топология $t_{w \tau l}$ слабо $\tau$-локальной сходимости по мере локально выпукла. Предложен метод построения $F$-нормированных идеальных пространств (далее $F$-НИП) на $({\mathcal M}, \tau )$, исходя из заданного $F$-НИП, сохраняющий (при наличии у исходного) полноту, локальную выпуклость, локальную ограниченность, нормируемость. Пусть ${\mathcal X}$ и ${\mathcal Y}$ — $F$-НИП на $({\mathcal M}, \tau )$ и $A{\mathcal X}\subseteq {\mathcal Y}$ для некоторого оператора $A \in S({\mathcal M}, \tau )$. Тогда мультипликатор ${\mathbf M}_A X=AX$, ${\mathbf M}_A : {\mathcal X}\to {\mathcal Y}$, непрерывен. В частности, при ${\mathcal X}\subseteq {\mathcal Y}$ естественное вложение ${\mathcal X}$ в ${\mathcal Y}$ непрерывно. Исследованы свойства убывающей последовательности $F$-НИП на $({\mathcal M}, \tau )$.