Неравенства типа Харди с точными константами в областях, лямбда-близких к выпуклым

В областях евклидова пространства доказаны новые интегральные неравенства с точными константами для вещественнозначных функций, обращающихся в нуль на границе области. Предполагается, что области являются лямбда-близкими к выпуклым. В частности, замыкания этих областей оказываются множествами, слабо выпуклыми по Ефимову — Стечкину и по Виалю. Описаны стандартные, а также усиленные неравенства типа Харди, когда вместо градиентов пробных функций берется скалярное произведение градиентов функции расстояния от точки до границы области и пробных функций. Доказательство основной теоремы опирается на ряд лемм, имеющих и самостоятельное значение.