Существенно обратимые измеримые операторы, присоединенные к полуконечной алгебре фон Неймана, и коммутаторы

Пусть алгебра фон Неймана $\mathcal{M}$ операторов действует в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$, $\tau$ – точный нормальный полуконечный след на $\mathcal{M}$. Если эрмитовы операторы $X, Y \in S(\mathcal{M}, \tau )$ такие, что $-X\leq Y \leq X$ и $Y$ $\tau$-существенно обратим, то $X$ $\tau$-существенно обратим. Пусть $0<p\leq 1$. Если $p$-гипонормальный оператор $A\in S(\mathcal{M}, \tau )$ $\tau$-существенно обратим справа, то $A$ $\tau$-существенно обратим. Если $p$-гипонормальный оператор $A\in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ обратим справа, то $A$ обратим в $\mathcal{B}(\mathcal{H})$. Если гипонормальный оператор $A \in S( \mathcal{M}, \tau )$ имеет правый обратный в $S(\mathcal{M}, \tau)$, то $A$ обратим в $S(\mathcal{M}, \tau)$. Если $A, T\in \mathcal{M}$ и $\mu_t(A^n)^{\frac1n}\to 0$ при $n \to \infty$ для каждого $t>0$, то оператор $AT$ ($TA$) не имеет $\tau$-существенного правого (соответственно левого) обратного в $S(\mathcal{M}, \tau )$. Пусть $\mathcal{H}$ сепарабельно и $\dim \mathcal{H}=\infty$. Существенно обратимый справа (слева) оператор $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ является коммутатором тогда и только тогда, когда существенно правый обратный (соответственно левый обратный) является коммутатором.