Дефект задачи типа Коши для линейных уравнений с несколькими производными Римана — Лиувилля

Рассматриваются вопросы существования и единственности решения начальных задач для линейных неоднородных уравнений общего вида с несколькими дробными производными Римана — Лиувилля в банаховых пространствах. Для уравнения, разрешенного относительно старшей дробной производной $D^\alpha_t$, введено понятие дефекта $m^*$ задачи типа Коши, определяющего количество нулевых начальных условий $D^{\alpha-m+k}_tz(0)=0$, $k=0,1,\dots,m^*-1$, необходимое для существования конечных пределов $D^{\alpha-m+k}_tz(t)$ в нуле при всех $k=0,1,\dots,m-1$. Показано, что дефект $m^*$ однозначно определяется набором порядков дробных производных Римана — Лиувилля, присутствующих в уравнении. Доказана теорема об однозначной разрешимости неполной задачи Коши $D^{\alpha-m+k}_tz(0)=z_k$, $k=m^*,m^*+1,\dots, m-1$, для уравнения, разрешенного относительно старшей производной Римана — Лиувилля, с ограниченными операторными коэффициентами. Полученный результат позволил исследовать начальные задачи для линейного неоднородного уравнения с вырожденным оператором при старшей дробной производной при условии, что относительно этого оператора $0$-ограниченным является оператор при второй по величине порядка производной, при этом различаются случаи, когда дробная часть порядка второй производной совпадает или не совпадает с дробной частью порядка старшей производной. Результаты для уравнений в банаховых пространствах использованы при исследовании начально-краевых задач для одного класса уравнений с несколькими производными Римана — Лиувилля по времени и с многочленами от самосопряженного эллиптического дифференциального по пространственным переменным оператора.