Циклотомические частные двух сопряженных алгебраического числа

Пусть $\alpha $ — алгебраическое число степени $d \geq 2$. Рассматривается множество $E(\alpha)$ положительных целых чисел $n$ таких, что первообразный корень степени $n$ из единицы $e^{2\pi i/n}$ можно выразить как частное двух чисел, сопряженных к $\alpha $ над ${\Bbb Q}$. В частности, из наших результатов следует, что множество $E(\alpha )$ мало́. Доказывается, что $|E(\alpha )| < d^{\frac{c}{\log \log d}}$, где $c=1.04$ для каждого достаточно большого $d$. Показывается также, что в терминах $d$ эта оценка наилучшая из возможных с точностью до константы, так как постоянную $1.04$ нельзя заменить никаким числом, меньшим $0.69$.