Точное описание $3$-многогранников их старшими $3$-цепями

$3$-Цепь $uvw$ в $3$-многограннике называется $(i,j,k)$-цепью, если $d(u)\le i$, $d(v)\le j$ и $d(w)\le k$, где $d(x)$ — степень вершины $x$. Известно, что каждый $3$-многогранник содержит вершину степени не больше $5$, называемую младшей. Описание $3$-цепей в $3$-многограннике называется старшим, если центральный член каждой тройки не меньше $5$.
Еще в 1922 г. Франклин доказал, что каждый $3$-многогранник минимальной степени $5$ содержит $(6,5,6)$-цепь, причем это описание неулучшаемо. В 2016 г. мы доказали, что каждый $3$-многогранник минимальной степени $5$ содержит $(5,6,6)$-цепь, что также неулучшаемо.
Для произвольных $3$-многогранников Йендроль (1996 г.) дал следующее описание $3$-цепей:
$$ \{(10,3,10),(7,4,7),(6,5,6),(3,4,15),(3,6,11), (3,8,5),(3,10,3),(4,4,11),(4,5,7),(4,7,5)\}, $$
но неизвестно, является оно неулучшаемым или нет. Первое точное описание $3$-цепей было получено в 2013 г. О. В. Бородиным, А. О. Ивановой, Йенсеном, А. В. Косточкой и Янси:
$$ \{(3,4,11), (3,7,5), (3,10,4), (3,15,3), (4,4,9), (6,4,8), (7,4,7), (6,5,6)\}. $$
Еще одно точное описание было дано О. В. Бородиным, А. О. Ивановой и А. В. Косточкой в 2017 г.:
$$ \{(3,15,3), (3,10,4), (3,8,5), (4,7,4), (5,5,7), (6,5,6), (3,4,11), (4,4,9), (6,4,7)\}. $$
Цель данной работы — получить первое точное старшее описание $3$-цепей для произвольных $3$-многогранников:
$$ \{(3,18,3),(3,11,4),(3,8,5),(3,7,6),(4,9,4),(4,7,5),(5,6,6)\}. $$