Высоты младших граней в $3$-многогранниках

Известно, что каждый $3$-многогранник содержит грань $f$ степени $d(f)$ не больше $5$, называемую младшей. Высота $h(f)$ грани $f$ в $3$-многограннике есть максимальная степень инцидентных грани $f$ вершин. Тип грани $f$ задается набором ограничений сверху на степени вершин, инцидентных $f$.
Из двойной $n$-пирамиды и полуправильного $(3,3,3,n)$-многогранника следует, что $h(f)$ может быть произвольно большой для каждой $f$, если в $3$-многограннике разрешаются грани типов $(4,4,\infty)$ или $(3,3,3,\infty)$, называемые пирамидальными.
Через $h$ обозначим минимальную высоту младших граней в заданном $3$-многограннике. В 1996 г. Хорняк и Йендроль доказали, что каждый $3$-многогранник без пирамидальных граней имеет $h\le39$, и построили $3$-многогранник с $h=30$. В 2018 г. мы получили точную оценку $h\le30$.
В 1998 г. О. В. Бородин и Д. В. Лопарев доказали, что в любом $3$-многограннике без пирамидальных граней и $(3,5,\infty)$-граней найдется грань $f$ с $h(f)\le20$ при $d(f)=3$ либо $h(f)\le11$ при $d(f)=4$, либо $h(f)\le5$ при $d(f)=5$, где границы $20$ и $5$ неулучшаемы.
В настоящей работе доказывается, что в каждом $3$-многограннике без пирамидальных граней и $(3,5,\infty)$-граней найдется грань $f$ с $h(f)\le20$ при $d(f)=3$ либо $h(f)\le10$ при $d(f)=4$, либо $h(f)\le5$ при $d(f)=5$, где все границы $20$, $10$ и $5$ неулучшаемы.