Расширения полугрупп и морфизмы полугрупповых $C^*$-алгебр

Исследуются нормальные расширения дискретных полугрупп и *-гомоморфизмы полугрупповых $C^*$-алгебр. Изучаются нормальные расширения абелевых полугрупп с помощью произвольных групп. Рассматриваются числовые полугруппы и доказывается, что они являются нормальными расширениями полугруппы неотрицательных целых чисел с помощью конечных циклических групп. С другой стороны, показывается, что если некоторая полугруппа является нормальным расширением полугруппы неотрицательных целых чисел с помощью конечной циклической группы, которое порождено одним элементом, то эта полугруппа изоморфна числовой полугруппе. Для нормального расширения, обладающего порождающим множеством, рассматриваются две приведенные полугрупповые $C^*$-алгебры, определяемые этим расширением. Показывается, что существует вложение рассматриваемых полугрупповых $C^*$-алгебр, порожденное инъективным гомоморфизмом полугрупп и естественными изометрическими представлениями этих полугрупп.