Об изометричности отображений, почти сохраняющих некоторые расстояния

Рассматривается поставленный А. Д. Александровым вопрос о том, насколько можно ослабить требование сохранения отображением расстояний с тем, однако, чтобы такое отображение было изометрией.
Доказывается существование такого “сильно разреженного” множества $M$ натуральных чисел и такого (“массивного”) подмножества $\Omega^*$ множества положительных чисел $\mathbf{R}^+$, что $M\subset\operatorname{int}\Omega^*$, причем $\Omega^*$ имеет бесконечную меру Лебега и плотно в $\mathbf{R}^+$, а также справедливо следующее утверждение: если $f\colon E^n\to E^n$, $n\ge3$, – такое инъективное отображение, что из условия $\rho(X,Y)\in M$ следует $\rho(f(X),f(Y))\in\Omega^*$, то $f$ – изометрия. Здесь $\rho$ – обычное расстояние в $n$-мерном евклидовом пространстве $E^n$.
Библиогр. 7.