Принцип максимума в теории потенциала и теоремы вложения для анизотропных пространств дифференцируемых функций

Применимость идей и методов теории потенциала зависит от свойств потенциалов $(U_K\mu)(x)=\int_\Omega K(x,y)\,d\mu(y)$ или их нелинейных аналогов, которые можно сохранить в более общей теории. Одним из основных свойств потенциалов является обобщенный принцип максимума: если $(U_K\mu)(x)\le M$ на $\operatorname{supp}\mu$, то $(U_K\mu)(x)\le cM$ на $\Omega$. В работе в качестве $\Omega$ рассматривается произвольная однородная группа $G$. Описывается класс ядер, являющихся функциями однородной нормы $r$, относительно которых доказывается принцип максимума для нелинейных потенциалов. Из принципа максимума и работы К. Ханссона следуют условия на меру для того, чтобы вложение $i\colon K(L_p)\to L_p(\mu,G)$ было непрерывным. (Здесь $K(L_p)=\{f\colon f=g*K$, $g\in L_p(G)\}$, $\|f\|_K=\|g\|_{L_p(G)})$. Этот результат позволяет установить вложения $L_p^\gamma\to L_q(\mu,R^n)$ и $B_{p,p}^{\mathbf{l}}(R^n)\to L_q(\mu,R^n)$, $p\le q$ (здесь $L_p^\gamma(B_{p,p}^{\mathbf{l}})(R^n)$ – анизотропное пространство бесселевых потенциалов (Бесова)). Доказывается ряд соотношений между емкостью и мерой.
В случае $G=R^n$ и $r=|\cdot|$ результаты из нелинейной теории потенциала установлены Ю. Г. Решетняком, В. Г. Мазьей и В. П. Хавиным, Д. Адамсом и Н. Мейерсом. Теоремы вложения, доказываемые в работе, обобщают результаты С. Л. Соболева, В. П. Ильина, В. Г. Мазьи, Д. Адамса и В. Дальберга.
Библиогр. 44.