Условия экстремума для одного класса функционалов вариационного исчисления с негладким интегрантом

Рассматриваются функционалы вида
$$I_F(u)=\int_U F[x,u'(x)]\,dx,$$
где $U$ – ограниченное открытое множество в $\mathbf R^n$, $F(x,p)$ – функция переменных $x\in U$, $p\in\mathbf R^n$, выпуклая относительно $p$. При некоторых предположениях относительно $F$ устанавливается, что функция $u$ является экстремальной для функционала $I_F$ в том и только в том случае, если существует вектор-функция $\xi\colon U\to\mathbf R^n$ такая, что для почти всех $x$ $\zeta(x)$ есть субградиент функции $p\mapsto F(x,p)$ в точке $p=u'(x)$ и для любой функции $\psi$, обращающейся в нуль на границе $U$ и принадлежащей классу $W^1_\alpha(U)$, выполняется равенство
$$\int_U\langle\zeta(x),\psi'(x)\rangle\,dx=0.$$

Библиогр. 5.