О следах функций класса Зигмунда

Рассмотрена задача описания пространства следов функций класса Зигмунда $\Lambda_\omega$ на произвольное замкнутое подмножество $F\subset R^n$. Класс $\Lambda_\omega$ состоит из локально ограниченных на $R^n$ функций $f$, удовлетворяющих (обобщенному) условию Зигмунда
$$ |f(x+h)-2f(x)+f(x-h)|\leq\lambda\omega(|h|),\quad x,h\in R^n. $$
Здесь $|h|=\max\limits_{i=1,\dots,n}|h_i|$, $h=(h_1,\dots,h_n)$ и $\omega\colon R_{+}\to R_{+}$ не убывает. Кроме того, считаем, что функция $\omega(t)t^{-2}$ не возрастает и полагаем $|f|_{\Lambda_\omega}=\inf\lambda$.
Пусть $f$ – локально ограниченная функция, заданная на $F$.
Теорема 1. Если сужение $f_{F'}$ функции $f$ на любое подмножество $F'\subset F$, состоящее из $3\cdot 2^{n-1}$ точек, может быть продолжено до функции $f_{F'}\in\Lambda_\omega$ с $|f_{F'}|\leq1$, то и сама функция $f$ может быть продолжена до некоторой функции $\widetilde{f}\in\Lambda_\omega$ , и при этом $|\widetilde{f}|_{\Lambda_\omega}\leq\gamma(n)$.
Следующая теорема показывает, что число $3\cdot 2^{n-1}$ уменьшить, вообще говоря, нельзя.
Теорема 2. (а) Если $\displaystyle\mu_\omega=\sup_{t>0} \biggl\{(t/\omega(t))\int_t^\infty\frac{\omega(u)}{\omega^2}\biggr\} du<\infty$, то для некоторого замкнутого множества $F$ из $R^n$ $\Lambda_\omega(F)\neq\Lambda_\omega(F;3\cdot2^{n-1}-1)$.
(б) Если же $\mu_\omega<\infty$, то для любого компакта $F\subset R^n$ имеет место изоморфизм $\Lambda_\omega(F)=\Lambda_\omega(F;n=2)$.
Библиогр. 16.