Об устойчивости изометрических преобразований

Отображение $f\colon U\to\mathbb{R}^n$ области $U$ пространства $\mathbb{R}^n$ называется квазиизометрическим, если $f$ принадлежит классу $W_{1,\mathrm{loc}}^1(U)$, его якобиан имеет в $U$ постоянный знак и существует число $L\ge1$ такое, что для почти всех $x\in U$ линейное отображение $f'(x)$ преобразует единичную сферу в эллипсоид, полуоси которого принимают значения, лежащие в промежутке $[1/L,L]$; $L(f)$ означает наименьшее из таких $L$. Устанавливается, что если $L(f)=1$, то $f$ есть отображение вида $f(x)=p+\theta x$, где $p\in\mathbb{R}^n$, $\theta$ – ортогональная матрица.
Приводится новое доказательство теоремы Ф. Джона, согласно которой при $L(f)$ близком к 1, квазиизометрическое отображение $f$ отличается от некоторого изометрического на величину порядка $L(f)-1$. В работе Ф. Джона отклонение от изометрического отображения определяется с помощью равномерной нормы. В данной статье доказывается, что аналогичная оценка будет верна, если отклонение определять посредством нормы в $W^1_p(U)$, где $p>1$ произвольно. Ранее был известен только локальный вариант последнего утверждения, доказанный Ф. Джоном.
Библиогр. 18.