Размерность Хохшильда–Митчела линейно упорядоченных множеств и гипотеза континуума

Цель статьи – выяснить, какое место занимает обобщенная гипотеза континуума в теории размерности Хохшильда–Митчела линейно упорядоченных множеств. Подмножество $I$ линейно упорядоченного множества $\mathbb{C}$ называется полуплотным, если для любых элементов $a<b$ множества $\mathbb{C}$ существует такой элемент $i\in I$, что $a\le i\le b$. Установлено, что если для всех натуральных чисел $n\ge 0$ имеют место равенства $2^{\aleph_n}=\aleph_{n+1}$, то размерность Хохшильда–Митчела всякого линейно упорядоченного множества, содержащего полуплотное подмножество меньшей мощности, равной $\aleph_n$ при некотором натуральном $n\ge 0$, равна $n+3$. Более того, доказана и обратная импликация.
Библиогр. 14.