Об отображениях, сохраняющих расстояние $1$ лишь в конечном числе направлений

Обозначим через $S^{n-1}$ единичную сферу (с центром $O$) в евклидовом пространстве $E^n$ ($n\ge2$), через $\rho(A,B)$ – расстояние между $A,B\in E^n$.
Теорема. Существует конечное множество $\mathfrak{M}\subset S^{n-1}$, обладающее следующим свойством.
Пусть отображение $f\colon E^n\to E^n$ таково, что из условий
1) $\rho(X,Y)=1$,
2) существует точка $M\in\mathfrak{M}$, для которой $[X,Y]||[O,M]$, следует $\rho(f(X),f(Y))=1$.
Тогда если отображение $f$ непрерывно хотя бы в $n+1$ точках общего положения, то $f$ – изометрия. (Это условие непрерывности является минимальным: непрерывности в $n$ точках уже не достаточно).
Библиогр. 7.